基于MATLAB多自由度单向
串联振动系统的计算分析
于翔，周松
(沈阳航空航天大学 机电工程学院，辽宁 沈阳110136)
在工程振动问题中，固有特性（固有频率和主振型）是描述振动系统的主要参数。根据矩阵迭代法，利用MATLAB/GUI界面设计平台，提出了针对多自由度单向串联振动系统固有特性的计算方法，并通过算例求解和误差分析，完成了合理性验证，为复杂振动系统响应的初步解耦奠定了基础。
振动力学不仅是近代应用力学的一个重要分支，而且是现今工业生产中分析和解决机械产品运转稳定和寿命持久问题的重要手段。随着科学技术的高速发展，振动力学在机械加工、航空航天以及交通运输等工业技术领域中占有愈来愈重要的地位［1］。其中，固有特性（固有频率和主振型）作为描述振动系统的主要参数［2-5］，在响应模拟和仿真预测中发挥着重要的作用。因此，通过研究振动系统固有特性的求解方法，可以为防止系统共振提供理论依据［6-8］，也为进行系统响应的初步解耦和机械结构的强度分析奠定基础［9］。然而，对于工程振动问题，无论是复杂的运动体还是离散的弹性体都可以通过有限元法化解为理想节点系统的振动模型，但是由于系统自由度不唯一，并且以多自由度单向串联振动系统最为常见，因此如何准确地求得振动系统任意阶固有特性的有效解，一直都是研究振动力学问题的关键。
1固有特性的求解方法
多自由度振动系统固有特性的算法主要有直接计算和近似计算2种。其中，对低自由度振动系统，直接计算作为首选方法，既简便快捷又准确有效，但是在实际工程中，大多数系统的振动形式非常复杂且自由度很高，用频率方程（特征方程）很难进行直接求解。然而，通过相关研究发现，近似计算中的矩阵迭代法因为其精确度不依赖于假设振型，假设初值的好坏只影响迭代次数，与所求固有特性的精度无关，即迭代运算总是收敛于振动系统的最低阶固有特性［1,10］。因此，对于实际振动问题，往往采用矩阵迭代的方法求解系统的固有特性。
在多自由度正定系统的自由振动中，系统的主振型方程可分别表示为：
ω2{A}=［M］-1［K］{A} (1)
1/ω2{A}=［δ］［M］{A} (2)
式中：ω为固有频率；{A}为主振型；［M］为质量矩阵；［K］为刚度矩阵；［δ］为柔度矩阵。矩阵迭代法是从假设主振型出发，对以上两式进行矩阵迭代运算。因为工程上对系统的最低阶或较低阶固有特性比较重视［2-3］，所以通常只对式(2)进行迭代运算。引进动力矩阵：［D］=［δ］［M］ (3)
通过矩阵迭代，在规定的有效位数内，当发现{A}k≈{A}k-1时，运算结束。此时，{A}k或{A}k-1即为系统第一阶主振型{A(1)}的近似值；系数ak即为系统第一阶固有频率平方倒数的近似值，即：
{A(1)}≈{A}k-1={A}k (4)
ω2≈1/ak (5)
.......
作者简介：于翔（1988—），男，山东烟台人，沈阳航空航天大学硕士研究生，主要研究方向为振动载荷下材料疲劳寿命预测。
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